Erste Ableitung - felixdippold.de

Allgemeines/Einführung

Herleitung der Ableitung

Herleitung: Ableitung als Steigung des Graphen an einer Stelle

Zeichnet man eine Gerade durch zwei Punkte P und Q auf einem Graphen, so erhält man die durchschnittliche Steigung zwischen diesen beiden Punkten. Diese Steigung kann man mithilfe des Differenzenquotienten bestimmen:

Wir betrachten die Punkte P(x₀|f(x₀)) und Q (x₀+h|f(x₀+h)). Als Beispiel: Das Plugin unten hat standardmäßig folgende Werte:

f(x)=x² x₀=0,5 h=1 und damit:

P(0,5|0,25) Q (1,5|2,25)

Mit dem Differenzenquotient lässt sich die durchschnittliche Steigung zwischen P und Q bestimmen:

m=\frac{f(x_0+h)-f(x)}{h}

Schiebt man den Punkt Q unendlich nahe an P heran (h wird dafür beliebig klein), erhält man die momentante Steigung im Punkt P. Aus dem Differenzenquotient wird der Differenzialquotient:

f'(x_0)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x)}{h}

Lernvideo

YouTube: Grundlagen zur Ableitung: Sekante/Tangente

Ableitungsregeln

Ableitung der wichtigsten Funktionen

$f(x)=k, k\in \mathbb{R} \implies f'(x)=0$
$f(x)=x \implies f'(x)=1$
$f(x)=\frac{1}{x} \implies f'(x)=-\frac{1}{x^2}$
$f(x)=\sqrt{x} \implies f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x)=\sin(x) \implies f'(x)=\cos(x)$
$f(x)=\cos(x) \implies f'(x)=-\sin(x)$
$f(x)=e^x \implies f'(x)=e^x$
$f(x)=a^x \implies f'(x)=\ln(a)\cdot a^x$
$f(x)=\ln(x) \implies f'(x)=\frac{1}{x}$

Potenzregel

f(x)=x^n, n \in\mathbb{R} \implies f'(x)=n\cdot x^{n-1}

Beispiel:

f(x)=x^7 \implies f'(x)=7 \cdot x^6

Summenregel

f(x)=u(x)+v(x) \implies f'(x)=u'(x)+v'(x)

Beispiel:

f(x)=x^2+x^3 \implies f'(x)=2x+3x^2

Faktorregel

f(x)=k\cdot g(x), k \in\mathbb{R} \implies f'(x)=k\cdot g'(x)

Beispiel:

f(x)=3\cdot \sqrt{x} \implies f'(x)=3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}

Produktregel

f(x)=u(x)\cdot v(x) \implies f'(x)=u(x)\cdot v'(x)+u'(x)\cdot v(x)

(Merkregel: Stehen lassen mal Ableiten + Ableiten mal Stehen lassen)
Beispiel:

f(x)=x^2\cdot \frac{1}{x} \implies f'(x)=x^2\cdot (-\frac{1}{x^2})+2x \cdot \frac{1}{x}

Kettenregel

f(x)=g(h(x)) \implies f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)

Beispiel:

f(x)=(3x^2+4)^4

Äußere Funktion:

f(x)=(...)^4

Innere Funktion:

f(x)=3x^2+4

Ableitung:

f'(x)=4\cdot(3x^2+4)^3\cdot 6x

GeoGebra

Befehl für die Ableitung in Geogebra:

f(x)=…

Ableitung(f)

Verwendung

Die erste Ableitung kann als Werkzeug für folgende Aufgabentypen verwendet werden:

Bestimmen der Steigung des Graphen an einem Punkt
Bestimmen der Tangente an einen Punkt des Graphen
Bestimmen des Monotonieverhaltens
Bestimmen der Änderungsrate
Bestimmen der Wachstumsgeschwindigkeit

Material

Neue IGS Matherial M71